Muotolukuja esittelee joitain tapoja, joilla geometrisia perusmuotoja on kuvattu taiteessa ja muotoilussa. Kerron edelleen analogisesta hahmottamistavasta, joka on syntynyt pinnasta taivutettavien paperimuotojen avulla. Käsittelen Moebiuksen nauhan kierteitä, muotojen taittamista paperipinnasta tai -nauhasta ymmärtääkseni paremmin perusgeometrian soveltamista käytännössä. 

Kolmiulotteisen muodon ymmärtämiseksi on pidetty tärkeänä sisäistää niiden viiden kappaleen perusmuotojärjestelmä, jota edustavat kuvataiteen plastisessa opetuksessa ja Platonin euklidisessa geometriassa esiintyvät monitahokkaat kuutio (heksaedri) ja tetraedri, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri. (mm. Unto Pusan Plastillinen sommittelu- kirjassa aika kattavasti)

Platon ei ollut ensimmäinen eikä viimeinen, joka esitteli järjestelmää perusmuodoista. Robert Lawson julkaisi 1979 Sacred Geometry- teoksen, jossa yhdistellään geometrian avulla henkisyyttä, arkkitehtuuria, ihmisen ja jumalallisen kultaisen leikkauksen mittasuhteita toisiinsa. Teoksen sivulla 96 Lawson esittelee Skotlannnista löydetyt neoliittisen kauden kivimuodot, jotka toistavat Platonisia peruskappaleita. Lähteenä Robert Lawson on käyttänyt mm. Keith Crithlowin teosta, jossa hän todistelee noiden kivimuotojen avulla skottien ”keksineen” ns. platoniset solidit yli tuhat vuotta ennen kreikkalaisia.

Onko naivia kysyä tosissaan kuka keksi perusmuodot ja koska se tapahtui? Nehän ovat olleet geometrisina havaintokappaleina toteutettuja artefakteja ja liittyneet kulttuurin tapaan säilyttää henkistä volyymiaan, on se sitten fyysistä tai metafyysistä.
Silti jokainen osaava käsityöläinen, joka on punonut tai käsitellyt materiaaliaan, kaislaa, tuohta, nahkaa, puuta, metallia jne. vaikka esihistoriallisen ajan skandinaviassa on tavannut ja pannut merkille väistämättä työssään nuo samat geometriset peruskappaleet. Hän on joutunut tunnustamaan niiden merkityksen maailman materian järjestyksen kannalta olemuksellisina perusmuotoina, joita ilman maailma ei olisi. Paperista voikin aika helposti taittaa joitain geometrisia monikulmioita. Kunihiko Kasaharan esittelee kirjassaan Origami for the Connoisseur, geometrisen taittamisen useita malleja ja ohjeita, kuinka Platonin monitahokkaita taitetaan mittaamalla pelkästään paperiarkin avulla.

Arkhimedes lisäsi perusmuotoihin 13 geometrista muotoyhdistelmää. Renessanssin jälkeen mm. Johannes Kepler (1571–1630) lisäsi kokoelmaan omat monitahokkaansa. Silti euklidisen geometrian perusmuodoilla ei tarvitse olla mitään erityisasemaa pinnasta muodostuvien rakenteiden joustavassa näkymättömässä maailmassa.

Voimmekin ajatella vaikka, että kappaleet muodostuvat avaruudessa ääripisteistään, tai navoista joiden välillä voi kulkea suoria tai joiden ympärille materia kaartuu, kietoutuu ja tihentyy aineeksi.

Tuntemamme kulmikkaat peruskappaleet ovat sopimuksenvarainen, yhden kulttuurin omaksuma tapa kuvata muuten näkymättömiä geometrisia rakenteita. Yhtä hyvin kuin kulmikkaat kuutio ja tetra ovat siis perusmuotoja, niin ovat sitä myös pisaran, tai tyynyn muoto, simpukka, kotilo, omena tai vaikka donitsi. Pelkistyneet geometriset perusmuodot ovat eri aikoina kiehtoneet ja innoittaneet muotoilijoita ja taiteilijoita, koska niiden kauneudella ei ole mitään tekemistä yksilöllisen lahjakkuuden tai hyvän maun kanssa. Niiden esteettisyys ja olemus kumpuaa matematiikasta ja luonnonjärjestyksestä.
Nykyään mm. Saksalainen prof. Martin Hess kokosi opiskelijoidensa kanssa vuonna 2005 Düsseldorfiin esitystavaltaan ja materiaaleiltaan kattavan ja vastaansanomattoman näyttelyn geometrisista perusmuodoista yhteistyössä suuren saksalaisen näyttelysuunnittelun yrityksen kanssa.

 

Topologia on matematiikan alue, joka näyttäytyy paperin muotoilussa. Topologiassa voisi sanoa tutkittavan kaksiulotteisten pintojen kykyä muodostaa kolmiulotteisuutta. Buckminster Fuller oli amerikkalainen arkkitehti, joka tutki mm. miten pallon muotoa voisi lähestyä geodeettisesti tasojen avulla. Hänen mukaansa on saanut nimensä 1985 keksitty hiilen molekyyli eli fullereeni.

Edelleen Yksi tunnetuimpia topologisia pintoja on ns. Möbiuksen nauha. Sitä voidaan kuvata ja testata mm. paperinsuikaleiden avulla. Suikaleen päät liitetään yhteen ja saadaan lenkki, jossa on sisäpinta ja ulkopinta erikseen. Otetaan toinen paperinsuikale ja kierretään sen pää puoli kierrosta ympäri ennen liittämistä ja saadaan lenkki, jossa on vain yksi jatkuva sivu ja yksi reuna. Sitä kutsutaan Möbiuksen nauhaksi, joka tunnetaan myös äärettömyyden visuaalisena symbolina. Jos otetaan edelleen kolmas suikale ja kierretään sen päätä täysi kierros ympäri ennen liittämistä toisiinsa niin saadaan suljettu nauhalenkki, jolla on sisä-ja ulkopinta taas erikseen. Mielenkiintoista onkin sitten, että jos noiden kolmen suikalemuodon pinnan taivuttaa/litistää tasoon, niin ensimmäinen suljettu kehä taittuu helposti litteän neliön muotoon, toinen puolikierrosta kierretty Möbiuksen nauha taittuu litteäksi kolmiomuodoksi ja kolmas täyden kierroksen kierretty suljettu lenkki taittuu tasoon taas neliöksi. Jos testiä jatkettaisiin uusilla lenkeillä ja kierteitä lisättäisiin saataisiin järjestyksessä aikaan kaikki monikulmiot.

Edellisessä näyttäytyy lukujen olemus avoimina ja suljettuina, tai parillisina ja parittomina muotoina. Muotoluvut vastaavat siis kysymykseen kuinka monta sivua, taitosta tai kierrettä ja johtavat yhdestä poimusta monimuotoisuuteen.

Yksittäisten perusmuotojen yhteyden kokonaisuuteen voi hahmottaa paremmin tällaisen jatkuvan analogisen muodonmuutoksen avulla ja nähdä, että siihen sopivat kaikki mahdolliset muodot, simpukoista donitseihin, tikuista tetroihin, esitystavasta riippumatta.

Euroopassa neitsyt Marian symbolina on kuvattu kahta toistensa keskipisteen kautta kulkevaa ympyräkaarta, jotka muodostavat keskelle mandorla-aiheen. (viittaa mantelin muotoon)
Motiivin voi ymmärtää kuvaavan neutraalisti elämän alkua, syntymää tai solun jakautumista. Se sisältää myös paperinmuotoilun yhden käytetyimmistä perustaitoksista, jota on käytetty paljon mm. päähineissä.
Aasialaisessa kulttuurissa samaa asiaa kuvaava embleemi (symbolinen kuva) on ollut ns. Jing-Jang, kaksoiskierre, josta voi jatkaa piirtämällä sarjan muotolukuja. Yksittäisten merkkien yhteyden kokonaisuuteen voi hahmottaa paremmin tällä tavalla ja kokea myös miten visuaaliset merkit ovat alunperin olleet yhteydessä siihen matemaattiseen yksikköön mitä ne yrittävät kuvata.